Правильный пятиугольник

Иное название этого понятия — «Пентагон»; см. также другие значения.

Пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	5
Символ Шлефли	{5}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D5)
Площадь	[math]\displaystyle{ \frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} = }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}; }[/math]
Внутренний угол	108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный, изотоксальный

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

• У правильного пятиугольника угол равен

[math]\displaystyle{ \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ }[/math]

• Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

[math]\displaystyle{ S = \frac{5}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 = \frac{5}{12}Rd = \frac{5}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{5} = 5 r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{5} }[/math],

где [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус описанной окружности, [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус вписанной окружности, [math]\displaystyle{ d }[/math] — диагональ, [math]\displaystyle{ t }[/math] — сторона.

• Высота правильного пятиугольника:

[math]\displaystyle{ h= \frac{\operatorname{tg}\,72^\circ}{2} t = \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{2} t \approx 1{,}5388417685876268 t }[/math]

• Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу [math]\displaystyle{ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} }[/math].

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

• Сторона:

[math]\displaystyle{ t =R \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} \approx 1{,}1755705045849463 ~R }[/math]

• Радиус вписанной окружности:

[math]\displaystyle{ r = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{10} t \approx 0{,}6881909602355869 ~t }[/math]

• Радиус описанной окружности:

[math]\displaystyle{ R = \frac{\sqrt 10 \sqrt{5 + \sqrt{5}}}{10} t \approx 0{,}85065080835204 ~t }[/math]

• Диагональ:

[math]\displaystyle{ d = {\sqrt {\Phi{\sqrt5}}}R = \frac{\sqrt 5 + 1}{2} t \approx 1{,}9021130325903073 ~R \approx 1{,}618033988749895 ~t }[/math]

• Площадь:

[math]\displaystyle{ S = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 \approx 1{,}7204774005889671 ~t^2 }[/math]

• Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
• Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

[math]\displaystyle{ \frac{S}{s} = \Phi^4 = 3\Phi + 2 = \frac{3\sqrt{5} + 7}{2} \approx 6{,}854101966249685 }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] — отношение золотого сечения.

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

• Построение правильного пятиугольника

• 

  Построение правильного пятиугольника

• 

  Построение правильного пятиугольника

• 

  Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник

В природе

В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

• 

  Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией

• 

  Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Интересные факты

Здание Министерства обороны США, известное как Пентагон

• Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
• Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
• Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).
• Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

См. также

• Золотое сечение
• Пятиугольник
• Пентаэдр
• Пентаграмма
• Государственный знак качества СССР